Прийоми усного множення

 Вчимося усно множити на 11

Існує декілька простих способів множення числа на 11.

Спосіб 1

Наприклад (54 * 11):При множенні 2-значного числа на 11, розсунемо цифри множника.

5 _ 4 * 11 = …

Тепер підсумуємо одиниці і десятки, а отриманий результат записуємо у відповіді:

5 (5 +4) 4 * 11 = 5 (9) 4 = 594

Якщо при підсумовуванні десятків і одиниць у вас виходить 2-значне число, залишимо тільки одиниці, а до десятків додамо «1».

Наприклад (89 * 11):

8 _ (8 +9) _9 = 8 _ (17) _ 9 = _ (8 +1) _ 79 = 979

Спосіб 2

При множенні на 11 розкладемо число 11 на суму: 10 +1, і проведемо множення частин.

Наприклад:

12 * 11 = 12 * (10 +1) = 120 + 12 = 132

Так само і з 3-значними числами:

114 * 11 = 114 * (10 +1) = 1140 + 114 = 1254

Множимо на 9 і 11

При множенні на «9», просто помножимо число на 10, а потім віднімемо це ж первісне число. Якщо множимо на «11» – число слід помножити на «10» і додати вихідне число.

57 * 11 = 57 * 10 + 57 = 570 + 57 = 627

Зведення в квадрат числа, що закінчується на 5

Досить проста методика. Множимо десяток на самого себе +1, і дописуємо «25» в кінці.

Наприклад (35 * 35):

35 * 35 = 3 * (3 +1) _25 = 1225

Як швидко рахувати в умі?

           Не всі ми видатні математики. На когось ця наука наводить жах при одному її згадуванні. Можливо, наступні поради допоможуть вам і ви зможете швидше робити математичні обчислення в розумі.

 1. Множення на 11

Ви повинні знати, що при множенні на 10 до числа додається “нуль”. Такий же спосіб існує і при множенні двозначного числа на 11.

Беремо двозначне вихідне число і подумки уявляємо проміжок між двома цими цифрами (для прикладу візьмемо число 52):

5_2

Тепер складаємо ці два числа, записавши їх ще і по середині:

5_ (5 +2) _2

Відповідь: 572.

Якщо при додаванні чисел в дужках виходить двозначне число, то другу цифру запам’ятайте, а другий додайте до першого числа:

9_ (9 +9) _9

(9 +1) _8_9

10_8_9

1089

Це правило працює завжди!

2. Швидке зведення в квадрат

5887 x 5За допомогою цього правила можна швидко звести в квадрат двозначне число, що закінчується на 5. Просто помножте першу цифру саму на себе + 1), а в кінці допишіть 25.

2943,5 (дробове число (опускаємо кому, додаємо 5)

29435

3. Множення на 9

Щоб помножити будь-яке число від 1 до 9 на 9, потрібно подивитися на руки. Загніть палець, який відповідає множити числа (наприклад, 9х3 – загніть третій палець), порахуйте пальці до загнутого пальця (це 2), а потім після загнутого пальця (7). Відповідь – 27.

4. Множення на 4

Хитрість цього способу полягає в тому, що потрібно просто помножити число на 2, а потім знову на 2:

58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232

5. Як розрахувати чайові

Якщо ви хочете залишити 15% чайових, то можна за допомогою простого способу обчислити потрібну суму. Спочатку вирахуйте 10% (для цього розділіть число на 10). Потім додайте число, що вийшло до його половині.

Приклад:

15% від $ 25 = (10% від 25) + ((10% від 25) / 2)

$ 2.50 + $ 1.25 = $ 3.75

6. Складне множення

Якщо вам потрібно перемножити великі числа, причому одне з них парне, ви можете просто перегрупувати їх:

32 x 125 все одно, що:

16 x 250 все одно, що:

8 х 500 все одно, що:

4 х 1000

У сучасному світі з безліччю понад прогресивних девайсів, рахунок у розумі не втратив своєї актуальності.

Іноді ми стикаємося з людьми, здатними складати, множити і ділити складні числа блискавично. Такі люди не володіють надприродними здібностями, вони просто знають формули спрощеного рахунку і регулярно тренують свій навик.

Як навчитися швидко рахувати в умі? Запропоновані в даній статті методики допоможуть вам розвинути феноменальний талант швидкого рахунку.

                             

Народна система мір. Міри довжини

Міри довжини

     Своєрідною виявилася народна система лінійних мір, якою користувались в Україні з давніх-давен. Їх походження має антропометричний характер. Усі давні лінійні міри пов'язані з природним рухом (розведенням пальців, розмахом рук), з окремими частинами людського тіла (ліктем, п'ядею, пальцями, ступнею і навіть голосом) чи фізичною силою - "на відстань голосу", "на відстань кинутого каменя" тощо. Тому у різних народів вони були не однаковими, тісно пов'язувалися з традиційними особливостями ("локоть давньоримський", "локоть мадярський"). Основними мірами довжини ще з часів Київської Русі були "локоть", "п'ядь", "ступня", "сажень" і навіть "крок". "Локоть" - відстань між ліктьовим суглобом і кінцем стиснутого кулака ("п'ястуха") людини середнього зросту - становив 45-50 см. "Литовський локоть" дорівнював 61,6 см і був поширений на Поліссі. Цю міру довжини знали і в Греції, і в Індії, і в Персії. До нашого часу вона збереглась в Болгарії, Данії, Польщі, Нідерландах, Ефіопії. Користувалися цією мірою для вимірювання тканини, стрічок. Мірою довжини є й аршин - це , по суті, той самий лікоть. Досі ним користуються в Афганістані, Болгарії, Ірані, Туреччині. Аршин дорівнює 71,12 см. Аршин ділився на 16 вершків. Вершок - 4,4 см. Меншими за величиною були такі міри, як "стопа" і "п'ядь". У Карпатах паралельно зі "стопою" вживався термін німецького походження "шух" (приблизно 30 см), який ділився на 12 "перстів", чи "пальців" (величина великого пальця). "Перст" у лісорубстві ототожнювався з "цалем", "цолом" (2,5 см). В українців, як і в багатьох інших слов'янських народів, "п'ядь" розділялася на дві величини - "мала п'ядь" і "велика п'ядь". "Мала п'ядь", або ще "хрома п'ядь", - це відстань між розставленими великим і вказівним пальцями (19 см), а "велика п'ядь" - між великим пальцем і мізинцем (21-23 см).
    Наведені вище міри застосовувались переважно у ткацтві, почасти у різних народних промислах, а також у будівництві; "сажень" стосувався міри землі. Витягнуті в обидва боки руки становили "сажень" ("сяг") - приблизно 177-186 см. "Коса сажень" дорівнювала 2,5 м і визначалась відстанню від підошви лівої ноги до кінців пальців витягнутої вгору правої руки. Відстань на землі ще міряли "кроком", що дорівнював 75 см. Про невеликі розміри чи відстані говорили: на волосину, на палець, на ніготь.
    Існували міри за видом занять - рибальські ("одне весло", "два весла"), боднарські ("обчиркач"), будівельницькі тощо.

    Короткий сажень—основна міра у Київській Русі, що дорівнювала трьом ліктям.
    Вершок — 4,4 см.
    Ярд — 91,4 см.
    Чверть — 18 см; віддаль між кінцями розставлених пальців —великого і мізинця.
    Цаль — 2 см.
    Жердка — 5 м.

      На Бойківщині використовували ще такі міри довжини:
      кльоб — сувій домотканого полотна довжиною 30 — 35 м, стіна — сувій

домотканого полотна довжиною 8 — 9 м, міра — сувій домотканого полотна довжиною 70—80 см.

      З незапам'ятних часів людство застосовувало за одиниці довжини розміри частин людського тіла. Це міри, які завжди «з нами». Невелика різниця у їх розмірах у різних людей при грубих вимірах не мала особливого значення. Побутували такі міри: палець, долоня, стопа, лікоть, крок, розмах рук. Невеликі віддалі нерідко і в наш час вимірюються кроками там, де не потрібна особлива точність. Використовувалась міра, що визначалася дистанцією, на якій було чути голос людини чи рев тварини. Міра «поки чути ревіння вола» виникла, мабуть, за часів чумацьких переходів. Були ще і такі міри: «віддаль польоту стріли», «на рушничний чи гарматний постріл», «куди долетить топорище».

Множення на пальцях

1. Множення чисел від 6 до 10.

Отже, Вам необхідно перемножити два числа від 6 до 10. Операція множення проводиться за наступною схемою.

Подумки пронумеруйте пальці своїх рук наступним чином:

Спробуємо помножити 9 на 7. Для цього Вам треба загнути на першій руці палець з номером 9, а на другий відповідно 7.

Далі починаємо рахувати за наступним правилом: порахуйте скільки пальців у Вас всього до загнутих включно (в нашому випадку їх 6 – на першій руці під номерами 6,7,8,9 і на другій під номерами 6 і 7). Далі кількість цих пальців множимо на 10. У нашому випадку 6х10 = 60, тепер порахуйте кількість пальців, які залишились (пронумеровані червоним кольором) на кожній руці окремо, в нашому випадку на першій руці 1, на другій 3, перемножимо ці два числа: 1х3 = 3. У висновку складемо свої дві відповіді, тобто 60 і 3 : 60 +3 = 63, значить 9х7 = 63.

Тепер помножимо 7 на  8:

Кількість пальців, пронумерованих блакитним кольором – 5, множимо 5 на 10, отримуємо 50, кількість пальців, пронумерованих червоним кольором, на першій руці 3, на другій – 2, перемножимо 2 і 3, отримуємо 6. Складаємо отримані відповіді 50 +6 = 56, значить 7х8 = 56.

Ось так виглядає операція множення чисел від 6 до 10.

2. Множення на 9 (легший спосіб).

В останній час все частіше стикаюся з учнями середньої та старшої ланки, які не знають таблицю множення. А знати її треба, зазвичай її просто “зубрять” ще у другому класі. Але математика – це наука “думаючого мозку» і вчити її не обов’язково, адже існує безліч схем і алгоритмів вирішувати швидко, не заучуючи що-небудь.

Зараз розглянемо як в прямому сенсі відбувається множення на пальцях.

Множення на 9:

9х1 = 9 (при множенні на 1 – загинаємо перший палець, потім рахуємо кількість пальців до загнутого (їх 0) і після нього (їх 9), результат 09 або просто 9)

·         9х2 = 18 (при множенні на 2 – загинаємо другий палець, потім рахуємо кількість пальців до загнутого (їх 1) і після нього (їх 8), результат 18)

3. Множення багатозначних чисел.

Припустимо треба помножити 32 на 21.

На аркуші паперу по черзі малюємо лінії, кількість яких визначається з даного прикладу.

Спочатку 32: 3 червоні лінії і трохи нижче – 2 сині. Потім 21 перпендикулярно вже намальованим, малюємо спочатку 2 зелені, потім – 1 малинову. ВАЖЛИВО: лінії першого числа малюються в напрямку з верхнього лівого кута в нижній правий, другого числа – з нижнього лівого, у верхній правий. Потім рахуємо кількість точок перетину у кожній з трьох областей (на малюнку області позначені у вигляді кіл). Отже, в першій області (область сотень) – 6 точок, у другій (область десятків) – 7 точок, у третій (область одиниць) – 2 точки. Отже відповідь: 672.

Розберемо інший приклад: 123х412 = 50676

Спочатку 123: 1 червону лінію і трохи нижче – 2 сині, і далі – 3 зелені. Потім 412: перпендикулярно вже намальованим, малюємо спочатку 4 фіолетових, потім 1 помаранчеву і 2 блакитних. За аналогією з попереднім прикладом, обводимо області перетинів колами. Всього їх вийшло 5, значить відповідь – п’ятизначне число. Знайдемо його: у першій області 4 точки перетину, у другій – 10, у третій – 16, в четвертій – 7 і в п’ятій – 6. Ті області, де кількість точок вийшло однозначною, складності не викликають, тому почнемо розбирати третю область, де 16 точок перетину: від 16 до цієї області залишаємо тільки останню цифру, а значить 6, все інше (а значить – 1) переносимо в сусідню область справа наліво, отже в третій області залишилося число 6, а в другій тепер до наявних 9 точок треба додати перенесену одиницю. Отже, у другій області тепер 10 точок, а це знову не однозначне число, значить 0 залишимо в другій області, а одиницю перенесемо в першу – тепер у першій на одну точку більше, а значить 5. Складемо відповідь: 50676

В школі досить часто просять вирішити якусь задачу кількома способами: аналітичним, графічним …, але не множення багатозначних чисел, такий спосіб множення не має право на життя в школі, там множать зазвичай в стовпчик, але це не означає, що він не заслуговує на увагу.

Таблиця множення на пальцях.
Розглянемо приклад множення чисел 7 і 8 за цим методом.

7 на 2 більше ніж 5. Загинаємо 2 пальці на лівій руці.

8 на 3 більше ніж 5. Загинаємо 3 пальці на правій руці.

Множимо суму загнутих пальців на 10, одержуємо: 5 ∙ 10 = 50.

Множимо число не загнутих пальців однієї руки на число не загнутих пальців другої руки, одержуємо: 3 ∙ 2 = 6.

Додаємо одержані добутки: 50 + 6 = 56. 

Отже, 7 ∙ 8 = 56.

Таблиця множення числа 9 на пальцях.

Для його застосування кисті обох рук слід покласти на стіл

долонями донизу. Пальці слід пронумерувати (подумки) так, як

показано на рисунку.

Якщо ми множимо, наприклад, 3 на 9, то загинаємо третій

палець-множник, як показано на рисунку

Не загнуті пальці, що зліва від загнутого, дають десятки добутку. Не загнуті пальці, що справа від загнутого, дають одиниці добутку.

Не нехтуйте методом множення на пальцях, адже наші руки —
це природний калькулятор, який завжди з нами.

Наприклад, 7 х 9. На одній руці загинаємо стільки пальців, наскільки 7 більше 5, тобто загинаємо 2 пальці. На другій — на скільки 9 більше 5, тобто загинаємо 4 пальці. Отже, на одній руці загнуто 2, не загнуто 3 пальці; на другій руці загнуто 4 пальці, не загнутий 1    палець. Далі знаходимо число усіх загнутих пальців 2 + 4 = 6 (це будуть десятки ) і знаходимо добуток числа незагнугих пальців 3 х 1 = 3 (це будуть одиниці). У результаті одержуємо число 63. Цей спосіб описано у підручнику «Арифметика» Магницького, який вийшов у світ у 1703 р.

Поради батькам

Часто за нескінченим потоком справ ми не звертаємо уваги на найдорожче, що в нас є – на наших дітей. А вони так потребують уваги!

Одного разу у дитини запитали: « Чого тобі найбільше хочеться?»

«Я хочу захворіти,бо коли я хворіла, тоді мама сиділа біля мене, розмовляла, розповідала казки, читала книжки, мені було так добре»,- відповіла дитина.

Порада 1

Не забувайте приділяти увагу повсякденному спілкуванню з дитиною. І тоді колись почуєте: «Дякую тобі, мамо, за твою науку. Колисала ти мене, колиши й онуку».

Порада 2

Намагайтесь говорити спокійно і доброзичливо. Не зловживайте словами: «повинен», «треба». Не забувайте казати дітям «дякую», «вибач», адже вони вчаться того, чого їх навчають. Якщо дитина зростає у докорах, вона починає жити з почуттям провини.

Порада З

Будьте в міру вимогливими:

•виправляйте;

•реагуйте на недоліки;

•хваліть за мінімум — карайте за максимум. Примітка: інколи вмійте і «не побачити».

Порада 4

Спільні сімейні обіди — один з елементів належної культури поведінки, тільки не ті, де переважають уїдливі насмішки:

-Прибери лікті зі столу! Підніми голову, вона в тебе не глиняна!

-Не плямкай!

-Як ти їси, дивитись гидко!

-А хто за тебе «дякую» скаже!

Як говорив стародавній мислитель Сенека, «нелегко привести до добра повчанням, а легко прикладом».

То ж будьмо прикладом своїм дітям у всьому. Бо «блаженні ті батьки, чиє доброчесне життя є прикладом доброзичливості для дітей, зразком виправлення і правилом благих дій».

Порада 5

Дуже важливою умовою є дотримання принципу погодженості у вихованні,одностайності у вимогах до дітей. Слушними, на наш погляд, є зразки народної мудрості:

•Коли батько каже «так», а мати — «сяк», росте дитина як будяк.

•Біда тому дворові, де курка кричить, а півень мовчить.

Порада 6

Піклуйтесь про щасливу долю свого дитяти.

Відразу в кожного на думці — придбати і передати у спадок солідне майно. «Та, якщо вони не вміють благочестиво поводитися, — вчить Святий отець Іван Злотоустий, — воно недовго протримається у них, вони його розтринькають, воно загине разом з його господарями».

Знайте, батьки, — найкращий спадок для дітей не золото та маєтки, а гарне виховання і навчання. Для переконливості пропонуємо давню притчу, в якій закладена саме ця ідея.

«Якщо ти даси своєму синові одну рибину, то він буде ситий один день, якщо даси дві — то два дні, три рибини — три дні… Але коли ти навчиш його ловити рибу, працювати, то він буде ситий протягом усього свого життя. Отже, — продовжує Святий отець, — учіть дітейбути благочестивими володарями своїх пристрастей, багатими в добродіяннях і не очікуйте від Бога ніякої милості, якщо не виконаєте свого обов’язку». А слова видатного педагога К.Ушинського про те, що «коли бажаєш вихованцеві щастя, треба виховувати його не для щастя, а для праці життя», слугують цілком логічним підтвердженням всього зазначеного вище.

Порада 7

Матері, привчайте своїх доньок до охайності, чистоти і краси зовнішньої. Знайте, що в народі доньок порівнюють з їхніми мамами за приказкою: «Який кущ, така й калина, яка мати, така й дитина».

Порада 8

Обов’язок батька — виховати в сина мужність, бо вона є головним показником зрілості юнака.

Задачі-казки

1. В Аравії помирав старий. Усе своє майно, 17 верблюдів, він заповідав синам, причому старший мав отримати половину, середній  — третину, а найменший — дев’яту частину. Після смерті батька сини не знали, що робити, адже 17 не ділиться без остачі ані на 2, ані на 3, ані на 9. Довго сперечалися брати, аж тут під’їхав на верблюді мудрець. Дізнався про суперечку і  дав братам мудру пораду, що допомогла розділити майно так, як заповідав батько. Що то була за порада?

2. Біжить лисичка, а  на зустріч їй  — ведмідь. — Ти куди, сестрице? — Додому поспішаю! Мені зайчик дві моркви- ни дав. Вечерю варитиму. — А мені зайчик дав аж чотири морквини. Я  з них вечерю зварю? — Пропоную, ведмедику, спільну вечерю звари- ти! — запропонувала хитра лисичка, зметикувавши, що у  ведмедя більше морквинок, ніж у  неї. Ведмідь погодився. Наламали хмизу, розклали багаття, зварили вечерю. Щойно примостились їсти, аж тут  — журавлик. — Чи не почастуєте мене? Я  вам за це рибки дам... Поділили вечерю на три рівні частини, сіли й  поїли. Журавлик дав шість рибок і  полетів. Лисичка і  каже ведмедеві: — Тобі три рибки, і мені три. Так буде порівну. А  ведмідь: — Ні, це не справедливо. Адже в  мене 4 морк вини було, а в тебе 2. Отже мені належить 4 рибки, а  тобі 2. Як не сперечалась лисичка, а таки ведмідь узяв 4 рибки. Невдовзі зустрів ведмідь зайчика в  лісі, розповів про вечерю з  лисичкою і  журавликом. А зайчик посміхнувся і  сказав, що лисичка, мовляв, по всьому лісі плеще язиком, що ведмедя обманула. — Як же так?  — замислився клишоногий... А  ти як гадаєш, хто кого обманув?

Математичні софізми

П'ять дорівнює шести.

Візьмемо тотожність 35 + 10 - 45 = 42 +12 - 54. У кожній частині цієї тотожності винесемо за дужки спільний множник: 5 • (7 + 2 - 9) = 6 • (7 + 2 - 9). Тепер, розділивши обидві частини отриманої рівності на їх спільний множник (7 +2 - 9), отримаємо, що 5 = 6.

Де помилка?

Чотири дорівнює п’яти

Розглянемо правильну числову рівність: 4 : 4= 5 : 5 Винесемо за дужки спільний множник 4 ( 1 : 1) = 5 ( 1 : 1) Звідси 4 = 5 .

Де помилка?

Два дорівнює трьом.

 Розглянемо очевидну рівність (2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2. Звідси, добувши квадратний корінь, маємо: 2 - 5/2 = 3 - 5/2. Додаючи до обох частин цієї рівності по 5/2, отримуємо, що 2 = 3.

Де помилка?

Чотири більше дванадцяти

 Додаючи до обох частин очевидної нерівності 7> 5 число - 8, маємо (7- 8)> (5 - 8), тобто -1 > -3. Помноживши обидві частини цієї нерівності на (-4), отримуємо (-1) • (-4) > (-3) • (-4), тобто 4 >12.

 Де помилка?

Щоб канікули пройшли з користю

Вчити математику можна граючись. Виконайте завдання і перевірте свої вміння.

Готуємось до тематичних контрольних робіт

Скоро контрольна робота. Раджу вам перевірити свої знання, виконавши самостійну роботу. Бажаю успіху!

Виховуємо патріотів України

Відповідно до наказу Міністерства освіти і науки України від 16.06. 2015 р. № 641 «Про затвердження Концепції національно-патріотичного виховання дітей та молоді» розроблено методичні рекомендації щодо національно-патріотичного виховання у загальноосвітніх навчальних закладах.

Формування в учнів ціннісного ставлення до суспільства, держави та до самої себе, відчуття своєї належності до України, усвідомлення єдності власної долі з долею своєї країни, активної за формою та моральної за змістом життєвої позиції є головною домінантою національно-патріотичного виховання учнів в процесі шкільного навчання, у тому числі, навчання математики. Важливою складовою виховання є прищеплення шанобливого ставлення до Збройних сил України, підготовка до оволодіння військовими професіями, мотивація учнів до військової служби.

Виховання в школярів почуття патріотизму слід здійснювати на уроках математики, віддаючи перевагу окремим аспектам цієї роботи відповідно до вікових особливостей учнів.

 у 5-6 класах доцільно надавати пріоритет вихованню в учнів любові до України, її природи, рідного дому, школи, рідної мови, шляхом складання самими учнями (або за допомогою вчителя) і розв’язування задач, в яких мова йде про їх рідний край. Це задачі, що містять історичні дані, відомості про тваринний та рослинний світ регіону, в якому проживають школярі тощо. Під час розв’язування задач доречно пропонувати учням коментувати виконання дій. Це сприятиме розвиткові усного мовлення, формуванню у школярів вмінь правильно і грамотно висловлювати свої думки українською мовою. З цього погляду корисними також будуть такі  завдання, як наприклад, «Прочитай», «Сформулюй», «Провідміняй: а) сорок два мільйони; б) двадцять дев’ять тисяч».

У 7-9 класах можливо розширити знання учнів про культуру українського народу за допомогою різних українських орнаментів (вишиванок) в процесі вивчення геометричних перетворень. Бажано звернути увагу учнів на те, що багато орнаментів лише на перший погляд видаються симетричними або утвореними шляхом паралельного перенесення. Насправді ж створення орнаментів людиною є процесом творчим, не завжди підпорядкованим математичним законам (на відміну від машинного орнаментування).

У процесі навчання слід звертати увагу учнів на прізвища українських математиків, на їхній внесок у розвиток математичної науки.  пам’ятнику якого написано: «Моя любов – Україна і математика».  Суттєву допомогу вчителю нададуть відповідні матеріали, вміщені  в українських шкільних підручниках з математики.

 позакласних заходів, присвячених українським математикам: математичні вечори, вікторини, конференції, диспути, дискусії чи змагання тощо. На таких заходах можна розповісти учням про життя, діяльність та здобутки видатних українців, запропонувати розв’язати кілька задач, складених ними. 

 розповісти  учням про творця одного з важливіших методів інтегрування - М.Остроградського (народився і похований на Полтавщині).

Учнів основної та старшої школи варто також залучати до проектної діяльності, пов’язаної з вивченням діяльності відомих українських математиків. Наприклад, учням можна запропонувати такі теми для розроблення проектів: «Премії НАН України імені видатних українських учених», «Пам’ятники українським математикам», «Збірник українських історичних задач» та ін.