Вчити математику може бути цікаво!

Математика - це цікаво

Вчити математику можна граючись!

Зіграй в перший мільйон і повтори дії з десятковими дробами.

Скоро контрольна!

Щоб краще підготуватися до контрольної роботи з теми "Квадратні рівняння" розв’яжіть домашню контрольну роботу.

Самостійна робота "Квадратні рівняння"

Пропоную розв’язати домашні самостійні роботи. Тексти робіт для скачування:

Самостійна робота №1

Самостійна робота №2
Самостійна робота №3

Сторінками Червоної книги України

А чи знаєте ви, що до Червоної книги України заносяться види тварин і рослин, які постійно або тимчасово перебувають чи зростають у природних умовах на території України, в межах її територіальних вод, континентального шельфу та виняткової (морської) економічної зони, і знаходяться під загрозою зникнення. Занесені до Червоної книги України види тварин і рослин підлягають особливій охороні на всій території України.

 Розв’язавши  кросворд ви дізнаєтесь про деяких представників флори і фауни, що потребують нашого захисту.

Перевір себе!

Пропоную перевірити свої знання з теми "Дробові вирази"

Народна система мір. Міри маси і рідини

     Споконвіку мірою для сипких продуктів - зерна, муки, круп - була не їх маса, а об'єм. Обмін здійснювали за правилом: однаковий товар вимірювався посудом однакової місткості. Так з'явилися "мірки". У Карпатах це був посуд (бочка) на 32 л зерна. Меншими одиницями - були "півлітра" (16 л) і "чвертка" (8 л).

Ними могли міряти крупу або муку. Побутував й інший спеціальний посуд для мір - "міртук", а також "гелетка". Поширеною стала така міра, як "гарнець" ("горнець"), що містила 3,7 л і поділялась на чотири кварти. Сталою мірою був "корець" (96 кг). На Гуцульщині йому відповідав "кобельчи" ("кобель"), що поділявся на чотири "фердилі", а останній, у свою чергу, - на чотири "патралиці" (8 л).
    Велику кількість зерна зберігали у "кадовбах" (8 ц), різної місткості бочках (від 200 до 100 кг). Відповідно вони стали й мірою - "один кадовб", "одна бочка". Для муки ще з давньоруських часів існувала міра "мисль" ("мисель") - посуд, що мав вигляд дволітрової циліндричної бляшанки.
     З тієї доби залишилась у побуті українського населення Карпат міра "око" місткістю в одне відро (10 л). На Гуцульщині функцію "ока" виконував камінь масою 12 ок ("камінь вовни"). Рідину міряли: відром ("коновцею"), "порцією" (100 г), "михайликом" (до 900 г), "кватиркою" (до 250 г) тощо; сир - "грудками", "гелетками" (6-12 кг), "бербеницями" (32 кг), "беривкою" (16 кг).

     Своєрідною мірою врожаю зернових служили: "віз" ("фура"), "сани", "снопи", "бабки", "кладні", "хрести". Народна арифметика починалася з лічби на пальцях рук, паличок, камінчиків, бобів чи квасолі. Однак спорудження будинків, виготовлення складних знарядь праці - воза, плуга тощо вимагали певних знань і навичок. Найпростіші форми рахунків застосовували при випасанні худоби на відгоні. Для цього служив "раваш" - прямокутний брусок з позначками - "карбами", половина якого вручалась пастухам, а друга залишалася у господаря.
     Хлібороби вимірювали величину поля (прямокутні й багатокутні), здійснювалися розрахунки під час будівництва інженерних споруд, запроваджувався облік у ткацтві - "чисниця" (3 нитки), "пасмо" (30 ниток), "моток" (90 ниток) тощо.
Стародавні міри довжини та маси на практиці майже не вживаються, але їх часто можна зустріти в оповіданнях, повістях, книгах з історії. Назви мір довжини згадуються також і в прислів'ях: "Від горшка два вершка", "Коса сажень в плечах", "Міряє на свій аршин".

Народна система мір. Міри площі

У давнину міри площі були найрізноманітнішими:

Міри 1—12 використовували у Львівській і Житомирській областях.

1.    Десятина — 1,09 га.
2.    Квадратна верста — 1,1 км²,
3.    Квадратний сажень —1,1м².
4.    Квадратний аршин — 0,5 м².
5.    Квадратний вершок —19,7 см².
6.    Квадратний фут — 0,09 м².
7.    Різа — 3,6 десятин
8.    Морг — 0,57 га.
9.    Лан — 10 десятин.
10.  Стая — 1,75 морга.
11.  Волок — ЗО моргів.
12.  Ґрунт — 3 загони, загін — 4 морги.

     У Чернівецькій області використовували міри 13—17:
13.    Пражна — 130 м²
14.    Фальча — 80 пражин.
15.    Різа — 10 моргів.
16.    Морг — 45 пражин.
17.    Влока — 20 моргів.

     На Гуцульщині використовували міри 18—21. Тут терміни вимірів земельних ділянок пов'язували з часом, потрібним для обробки поля: день, упруг, різа. Наприклад, день — площа землі, яку виорює сита пара волів за день, упруг — площа землі, яку виорює пара волів з ранку до обіду.
18.    Різа — 10 моргів.
19.    Лук — 252 сажні2.
20.    Обжа — 2 луки.
21.    Соха — 3 обжі.

Сім правил успішного батьківства

1. Подавайте дітям приклад хорошої поведінки Діти вчаться, наслідуючи поведінку дорослих. Ваша поведінка - приклад для наслідування.
2. Змінюйте ситуацію, а не дитину Краще тримати цінні, крихкі та небезпечні предмети у недоступних для дітей місцях, аніж потім карати дітей за їхню природну цікавість.
3. Висловлюйте свої бажання позитивно. Кажіть дітям, чого ви від них очікуєте, замість того, чого НЕ бажаєте. Та якщо ви чогось категорично не бажаєте, формулюйте своє небажання чітко. Тому наступне:
4. Висувайте реальні вимоги Запитуйте себе, чи відповідають ваші вимоги віку дитини, ситуації, у якій вона опинилася. Якщо ви в принципі розумієте, що виконання ваших вимог є гарним, та нереальним варіантом - думайте про компроміс. У чому ви можете поступитися так, щоб можна було б бути впевненим, що дитина виконає те, що ви хочете? Пояснюйте причину, яка впливає на ваше рішення. Прагніть до компромісу у спілкуванні зі старшими дітьми, а з меншими - використовуйте тактику переключення уваги.
5. Обирайте виховання без побиття та крику На початку це може здаватися результативним, однак незабаром виявиться: щоразу ви змушені бити все з більшою силою, щоб досягти бажаного результату. Крик або постійні докори є також шкідливими та можуть призвести до тривалих проблем емоційного характеру. Покарання не допомагають дитині виробити навички самоконтролю і поваги до інших. Пам'ятайте: людина може чомусь навчитися тільки коли спокійна, задоволена чи радіє чомусь. Це стосується і дорослих також. Коли дитина дістала ляпас, вона стає надто сердитою, знервованою та збудженою, тому не може достатньо глибоко усвідомити, за що і чому її покарано.
6. Допомагайте дітям вести себе краще, даючи їм вибір  Не сперечайтеся з дітьми про справи, які не мають великого значення. Дозволяйте їм зробити вибір: нехай вони самі вирішують, у що одягатися чи що їсти. Це попередить прояви образи та непокори з боку дитини. Вона не дорікатиме, що ви її постійно пригнічуєте.
7. Прислуховуйтеся до того, що говорить ваша дитина.  Цікавтеся тим, що вона робить і відчуває. І головне - пам'ятайте, що любов є найважливішою потребою усіх дітей і однією з основних передумов позитивної поведінки дитини та взаєморозуміння.

Народна система мір. Міри поля

У хліборобській практиці потрібно було якось вимірювати поле. Народні міри, що з'явилися у процесі тих чи інших польових робіт, мали досить умовний характер, були надто приблизними. Найбільш поширеною була міра "день орати", чи "день землі", або "на один плуг", тобто величина поля, зорана впродовж дня.
     Оскільки продуктивність оранки залежала від типу ґрунту, досконалості знарядь оранки і тяглової сили, то і величини були неоднакові. У Карпатах міра "день орати" становила один морг (0,57 га) землі, а на переважній більшості етнічної території наближалась до одного гектара. На Поліссі побутувала міра "соха", тобто приблизно 0,40 га. Меншою за розміром була "упруга" - третя частина міри "день землі", поширена на Лівобережжі. "Упруги" були ранкові, обідні, вечірні.
     Великі площі поля вимірювалися "ланами" (19-25 га), на Поліссі, Волині - "волоками" (21 га), що поділялися на "прути" (1,2-1,5 га). Це були дещо регламентовані міри поля, на відміну від тих, які визначались за виконаною роботою протягом одиниці часу. Існували міри площі за величиною скошеного поля ("день косити"), за кількістю висіяного зерна - "віко" (1/8 га, на яку припадає 25л зерна для засіву).
     На Закарпатті селяни послуговувалися мірою, яка називалася "ділець" ("телека") - величина сільськогосподарських угідь, що забезпечувала прожитковий мінімум для господаря. Сюди належали: садиба, орне поле, луки, пасовисько. Народні виміри виявилися живучими: навіть після запровадження стандартизованих одиниць, таких, як десятина (1 га), морг (0,57 га), гольд (0,48 га), кадастральний гольд (0,57 га), угр (1 га) тощо, селяни використовували давні міри.

21 заповідь Марії Монтессорі для батьків

Італійка Марія Монтессорі чудова вчителька, психолог, фізик, лікар. 70-ть років її ім’я було забуте у східній Європі і згадувалося лише в працях істориків педагогіки. А в той же час на Заході, в Америці, Азії відкривалися наукові інститути і академії, в яких вивчали і втілювали в життя антропологічні, дидактичні, педагогічні ідеї Марії Монтессорі, і мільйони дітей успішно навчалися в її школах.

Саме Монтессорі-школа занесена до Книги Гіннеса як найчисленніша. У ній навчається більше 22000 дітей, а знаходиться вона в Індії. Кажуть, що таку ж школу, але в Америці закінчила, наприклад, донька Білла Клінтона. Онуки і правнуки Льва Миколайовича Толстого, емігрували в різні країни світу, теж навчалися в Монтессорі-школах. У Нідерландах, Фінляндії та США дитячі сади і школи цього напряму включені в основний державний реєстр офіційних навчальних закладів.

Про педагогіку Марії Монтессорі

Якщо Ви будете хоча б раз на тиждень перечитувати список заповідей Марії Монтессорі для батьків, то взаємини з дітьми можуть вийти на абсолютно інший якісний рівень:

1.Дітей вчить те, що їх оточує.

2.Якщо дитину часто критикують – вона вчиться засуджувати.

3.Якщо дитину часто хвалять – вона вчиться оцінювати.

4.Якщо дитині демонструють ворожість – вона вчиться битися.

5.Якщо з дитиною чесні – вона вчиться справедливості.

6.Якщо дитину часто висміюють – вона вчиться бути боязкою.

7.Якщо дитина живе з почуттям безпеки – вона вчиться вірити.

8.Якщо дитину часто ганьблять – вона вчиться відчувати себе винуватою.

9.Якщо дитину часто схвалюють – вона вчиться добре до себе ставитися.

10.Якщо до дитини часто бувають поблажливі – вона вчиться бути терплячою.

11.Якщо дитину часто підбадьорюють – вона набуває впевненість у собі.

12.Якщо дитина живе в атмосфері дружби і відчуває себе необхідною – вона вчиться знаходити в цьому світі любов.

13.Не кажіть погано про дитину – ні при ній, ні без неї.

14.Концентруйтеся на розвитку хорошого в дитині, так що в підсумку поганому не залишатиметься місця.

15.Будьте активні в підготовці середовища. Проявляйте постійну ретельну турботу про неї. Показуйте місце кожного розвивального матеріалу і правильні способи роботи з ним.

16.Будьте готові відгукнутися на заклик дитини, яка потребує вас. Завжди прислухайтесь і відповідайте дитині, яка звертається до вас.

17.Поважайте дитину, яка зробила помилку і зможе зараз або трохи пізніше виправити її, але негайно суворо зупиняйте будь-яке некоректне використання матеріалу і будь-яку дію, що загрожує безпеці самої дитини або інших дітей.

18.Поважайте дитину, що відпочиває або дивиться за роботою інших, або розмірковує про те, що вона зробила або збирається зробити.

19.Допомагайте тим, хто хоче працювати, але поки не може вибрати собі заняття до душі.

20.Будьте неустанними, роз’яснюючи дитині те, чого раніше вона зрозуміти не могла – допомагайте дитині освоювати те, що не було освоєно раніше, долати недосконалість. Робіть це, наповнюючи навколишній світ турботою, стриманістю і тишею, милосердям і любов’ю. Будьте готові допомогти дитині, яка перебуває в пошуку і бути непомітним для тієї дитини, яка вже все знайшла.

21.У поводженні з дитиною завжди дотримуйтеся кращих манер – пропонуйте їй краще, що є у вас самих.

ОДИН ДЕНЬ – БЕЗ НОТАЦІЙ

1.     Будіть дитину спокійно; коли вона прокинеться, мусить побачити вашу усмішку і почути ласкавий голос. Не підганяйте зранку, не смикайте по дрібницях, не дорікайте за помилки і через необачність, навіть якщо "вчора попереджали ".

2.     Не квапте, вміння розрахувати час – ваше завдання, і якщо це вам погано вдається, то провини дитини в цьому немає.

3.     Не виряджайте дитину до школи без сніданку, їй потрібно багато попрацювати.

4.     Не прощайтесь, попереджаючи та наставляючи: "Дивись, не пустуй", "Поводь себе добре", "Щоб сьогодні не було поганих оцінок" т.п. Побажайте успіху, знайдіть декілька ласкавих слів. У дитини попереду важкий день.

5.     Забудьте фразу "Що ти сьогодні одержав?" Зустрічайте дитину після школи спокійно, не обрушуйте на неї тисячу питань, дайте розслабитись (пригадайте, як ви самі почуваєтесь після важкого робочого дня, багатогодинного спілкування з людьми). Якщо ж дитина занадто збуджена, якщо бажає поділитися чимось, не відмахуйтесь, не відкладайте на потім, вислухайте, це не забере багато часу.

6.     Якщо бачите, що дитина засмучена, але мовчить, не допитуйтесь, нехай заспокоїться, тоді і розповість усе сама.

7.     Вислухайте зауваження вчителя, не поспішайте влаштовувати допит і постарайтеся, щоб ваша розмова з учителем відбувалася без дитини.

8.     Після школи не поспішайте посадити виконувати уроки, необхідно 2-3 години відпочинку (а в першому класі добре було б години півтори поспати ) для відновлення сил. Найоптимальніший час для приготування уроків від 15до 17 год. Заняття вечорами некорисні, завтра прийдеться все починати спочатку.

9.     Не примушуйте виконувати всі уроки за раз, після 15-20 хв. занять необхідні 10-15 хвилинні "перерви".

10. У спілкуванні з дитиною намагайтесь уникати умов: "Якщо ти зробиш, то..." Інколи умови стають нездійсненними і не залежать від дитини, і ви можете опинитися в дуже складній ситуації.

11. Під час приготування уроків не сидіть "над душею", дайте можливість працювати самій, але якщо ж потрібна ваша допомога, наберіться терпіння. Спокійний тон, підтримка ("не хвилюйся все вийде", "давай розберемося разом", "я тобі допоможу"), похвала (навіть якщо не дуже виходить) необхідні. Не акцентуйте увагу на оцінках.

12. Знайдіть (постарайтеся знайти) протягом дня хоча б півгодини, коли ви будете належати тільки дитині, не відволікаючись на домашні справи, телевізор, спілкування з іншими членами родини. В цей момент найважливіше справи дитини, радості, невдачі, турботи.

13. Віднайдіть єдину тактику спілкування усіх дорослих у сім'ї з дитиною, свої суперечності з приводу педагогічної тактики вирішуйте без неї. Якщо щось не виходить, порадьтеся з учителем, лікарем, психологом, не вважайте зайвою літературу для батьків, там ви знайдете багато корисного.

14. Будьте уважними до скарг дитини на головний біль, втому, поганий стан. Найчастіше це об'єктивні показники втоми, складності навчання.

15. Запам'ятайте, що навіть "зовсім великі" діти (ми часто говоримо "Ти вже великий" 7 – 8 – річній дитині) дуже люблять казку перед сном, пісеньку і ласкавий дотик. Це все заспокоює їх, допомагає зняти напругу, яка накопичувалась за день, і спокійно заснути. Намагайтесь не згадувати перед сном неприємностей, не з'ясовувати стосунки, не обговорювати контрольну роботу, що буде завтра.

Завтра новий день, і ми повинні зробити все можливе, щоб він був спокійним, добрим і радісним.

Приклади усного рахунку в давнину

На млин привезли спочатку 48 пудів, потім 95, а пізніше ще 117 пудів зерна.

Щоб дізнатися, скільки всього зерна привезли на млин, мірошник підрахував: перший раз — 50 пудів (на 2 менше), другий раз — 100 пудів (на 5 менше), третій 120 пудів (на 3 менше). Мірошник спочатку додавав «круглі» числа, потім віднімав зазначені числа: 50+100+120-(2+5+3)=260

Множення і ділення на 4 і на 8:

а) щоб усно помножити число на 4, його двічі подвоюють:

112*4 = 224*2 = 448;

б) щоб усно помножити число на 8, його тричі подвоюють:

117*8 = 234*4 = 468*2  = 936;

Множення на 5 і на 25:

а)    щоб усно помножити число на 5, його множать на 10 і ділять

на 2, тобто дописують до числа 0 і ділять навпіл:

74 • 5 = 740 : 2 = 370.

     При множенні парного числа на 5 зручніше спочатку його поділити на 2 і до одержаного результату дописати 0:

74 • 5 = 74 : 2 • 10 = 370;

б)    щоб усно помножити число на 25, його множать на 100 і ділять на 4, тобто, якщо число ділиться на 4, то його ділять на чотири і до частки дописують два нулі:

72*25 = 72: 4*100= 18*100 = 1800.

Множення на 9 і на 11:

а)    щоб усно помножити число на 9, треба дописати до нього 0 і додати задане число:     62*9 = 620 - 62 = 600 - 42 =  558;

б)    щоб усно помножити число на 11, треба дописати до нього 0 і відняти задане число:  87*11 = 870 + 87 = 957.

Прийоми усного множення

 Вчимося усно множити на 11

Існує декілька простих способів множення числа на 11.

Спосіб 1

Наприклад (54 * 11):При множенні 2-значного числа на 11, розсунемо цифри множника.

5 _ 4 * 11 = …

Тепер підсумуємо одиниці і десятки, а отриманий результат записуємо у відповіді:

5 (5 +4) 4 * 11 = 5 (9) 4 = 594

Якщо при підсумовуванні десятків і одиниць у вас виходить 2-значне число, залишимо тільки одиниці, а до десятків додамо «1».

Наприклад (89 * 11):

8 _ (8 +9) _9 = 8 _ (17) _ 9 = _ (8 +1) _ 79 = 979

Спосіб 2

При множенні на 11 розкладемо число 11 на суму: 10 +1, і проведемо множення частин.

Наприклад:

12 * 11 = 12 * (10 +1) = 120 + 12 = 132

Так само і з 3-значними числами:

114 * 11 = 114 * (10 +1) = 1140 + 114 = 1254

Множимо на 9 і 11

При множенні на «9», просто помножимо число на 10, а потім віднімемо це ж первісне число. Якщо множимо на «11» – число слід помножити на «10» і додати вихідне число.

57 * 11 = 57 * 10 + 57 = 570 + 57 = 627

Зведення в квадрат числа, що закінчується на 5

Досить проста методика. Множимо десяток на самого себе +1, і дописуємо «25» в кінці.

Наприклад (35 * 35):

35 * 35 = 3 * (3 +1) _25 = 1225

Як швидко рахувати в умі?

           Не всі ми видатні математики. На когось ця наука наводить жах при одному її згадуванні. Можливо, наступні поради допоможуть вам і ви зможете швидше робити математичні обчислення в розумі.

 1. Множення на 11

Ви повинні знати, що при множенні на 10 до числа додається “нуль”. Такий же спосіб існує і при множенні двозначного числа на 11.

Беремо двозначне вихідне число і подумки уявляємо проміжок між двома цими цифрами (для прикладу візьмемо число 52):

5_2

Тепер складаємо ці два числа, записавши їх ще і по середині:

5_ (5 +2) _2

Відповідь: 572.

Якщо при додаванні чисел в дужках виходить двозначне число, то другу цифру запам’ятайте, а другий додайте до першого числа:

9_ (9 +9) _9

(9 +1) _8_9

10_8_9

1089

Це правило працює завжди!

2. Швидке зведення в квадрат

5887 x 5За допомогою цього правила можна швидко звести в квадрат двозначне число, що закінчується на 5. Просто помножте першу цифру саму на себе + 1), а в кінці допишіть 25.

2943,5 (дробове число (опускаємо кому, додаємо 5)

29435

3. Множення на 9

Щоб помножити будь-яке число від 1 до 9 на 9, потрібно подивитися на руки. Загніть палець, який відповідає множити числа (наприклад, 9х3 – загніть третій палець), порахуйте пальці до загнутого пальця (це 2), а потім після загнутого пальця (7). Відповідь – 27.

4. Множення на 4

Хитрість цього способу полягає в тому, що потрібно просто помножити число на 2, а потім знову на 2:

58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232

5. Як розрахувати чайові

Якщо ви хочете залишити 15% чайових, то можна за допомогою простого способу обчислити потрібну суму. Спочатку вирахуйте 10% (для цього розділіть число на 10). Потім додайте число, що вийшло до його половині.

Приклад:

15% від $ 25 = (10% від 25) + ((10% від 25) / 2)

$ 2.50 + $ 1.25 = $ 3.75

6. Складне множення

Якщо вам потрібно перемножити великі числа, причому одне з них парне, ви можете просто перегрупувати їх:

32 x 125 все одно, що:

16 x 250 все одно, що:

8 х 500 все одно, що:

4 х 1000

У сучасному світі з безліччю понад прогресивних девайсів, рахунок у розумі не втратив своєї актуальності.

Іноді ми стикаємося з людьми, здатними складати, множити і ділити складні числа блискавично. Такі люди не володіють надприродними здібностями, вони просто знають формули спрощеного рахунку і регулярно тренують свій навик.

Як навчитися швидко рахувати в умі? Запропоновані в даній статті методики допоможуть вам розвинути феноменальний талант швидкого рахунку.

                             

Народна система мір. Міри довжини

Міри довжини

     Своєрідною виявилася народна система лінійних мір, якою користувались в Україні з давніх-давен. Їх походження має антропометричний характер. Усі давні лінійні міри пов'язані з природним рухом (розведенням пальців, розмахом рук), з окремими частинами людського тіла (ліктем, п'ядею, пальцями, ступнею і навіть голосом) чи фізичною силою - "на відстань голосу", "на відстань кинутого каменя" тощо. Тому у різних народів вони були не однаковими, тісно пов'язувалися з традиційними особливостями ("локоть давньоримський", "локоть мадярський"). Основними мірами довжини ще з часів Київської Русі були "локоть", "п'ядь", "ступня", "сажень" і навіть "крок". "Локоть" - відстань між ліктьовим суглобом і кінцем стиснутого кулака ("п'ястуха") людини середнього зросту - становив 45-50 см. "Литовський локоть" дорівнював 61,6 см і був поширений на Поліссі. Цю міру довжини знали і в Греції, і в Індії, і в Персії. До нашого часу вона збереглась в Болгарії, Данії, Польщі, Нідерландах, Ефіопії. Користувалися цією мірою для вимірювання тканини, стрічок. Мірою довжини є й аршин - це , по суті, той самий лікоть. Досі ним користуються в Афганістані, Болгарії, Ірані, Туреччині. Аршин дорівнює 71,12 см. Аршин ділився на 16 вершків. Вершок - 4,4 см. Меншими за величиною були такі міри, як "стопа" і "п'ядь". У Карпатах паралельно зі "стопою" вживався термін німецького походження "шух" (приблизно 30 см), який ділився на 12 "перстів", чи "пальців" (величина великого пальця). "Перст" у лісорубстві ототожнювався з "цалем", "цолом" (2,5 см). В українців, як і в багатьох інших слов'янських народів, "п'ядь" розділялася на дві величини - "мала п'ядь" і "велика п'ядь". "Мала п'ядь", або ще "хрома п'ядь", - це відстань між розставленими великим і вказівним пальцями (19 см), а "велика п'ядь" - між великим пальцем і мізинцем (21-23 см).
    Наведені вище міри застосовувались переважно у ткацтві, почасти у різних народних промислах, а також у будівництві; "сажень" стосувався міри землі. Витягнуті в обидва боки руки становили "сажень" ("сяг") - приблизно 177-186 см. "Коса сажень" дорівнювала 2,5 м і визначалась відстанню від підошви лівої ноги до кінців пальців витягнутої вгору правої руки. Відстань на землі ще міряли "кроком", що дорівнював 75 см. Про невеликі розміри чи відстані говорили: на волосину, на палець, на ніготь.
    Існували міри за видом занять - рибальські ("одне весло", "два весла"), боднарські ("обчиркач"), будівельницькі тощо.

    Короткий сажень—основна міра у Київській Русі, що дорівнювала трьом ліктям.
    Вершок — 4,4 см.
    Ярд — 91,4 см.
    Чверть — 18 см; віддаль між кінцями розставлених пальців —великого і мізинця.
    Цаль — 2 см.
    Жердка — 5 м.

      На Бойківщині використовували ще такі міри довжини:
      кльоб — сувій домотканого полотна довжиною 30 — 35 м, стіна — сувій

домотканого полотна довжиною 8 — 9 м, міра — сувій домотканого полотна довжиною 70—80 см.

      З незапам'ятних часів людство застосовувало за одиниці довжини розміри частин людського тіла. Це міри, які завжди «з нами». Невелика різниця у їх розмірах у різних людей при грубих вимірах не мала особливого значення. Побутували такі міри: палець, долоня, стопа, лікоть, крок, розмах рук. Невеликі віддалі нерідко і в наш час вимірюються кроками там, де не потрібна особлива точність. Використовувалась міра, що визначалася дистанцією, на якій було чути голос людини чи рев тварини. Міра «поки чути ревіння вола» виникла, мабуть, за часів чумацьких переходів. Були ще і такі міри: «віддаль польоту стріли», «на рушничний чи гарматний постріл», «куди долетить топорище».

Множення на пальцях

1. Множення чисел від 6 до 10.

Отже, Вам необхідно перемножити два числа від 6 до 10. Операція множення проводиться за наступною схемою.

Подумки пронумеруйте пальці своїх рук наступним чином:

Спробуємо помножити 9 на 7. Для цього Вам треба загнути на першій руці палець з номером 9, а на другий відповідно 7.

Далі починаємо рахувати за наступним правилом: порахуйте скільки пальців у Вас всього до загнутих включно (в нашому випадку їх 6 – на першій руці під номерами 6,7,8,9 і на другій під номерами 6 і 7). Далі кількість цих пальців множимо на 10. У нашому випадку 6х10 = 60, тепер порахуйте кількість пальців, які залишились (пронумеровані червоним кольором) на кожній руці окремо, в нашому випадку на першій руці 1, на другій 3, перемножимо ці два числа: 1х3 = 3. У висновку складемо свої дві відповіді, тобто 60 і 3 : 60 +3 = 63, значить 9х7 = 63.

Тепер помножимо 7 на  8:

Кількість пальців, пронумерованих блакитним кольором – 5, множимо 5 на 10, отримуємо 50, кількість пальців, пронумерованих червоним кольором, на першій руці 3, на другій – 2, перемножимо 2 і 3, отримуємо 6. Складаємо отримані відповіді 50 +6 = 56, значить 7х8 = 56.

Ось так виглядає операція множення чисел від 6 до 10.

2. Множення на 9 (легший спосіб).

В останній час все частіше стикаюся з учнями середньої та старшої ланки, які не знають таблицю множення. А знати її треба, зазвичай її просто “зубрять” ще у другому класі. Але математика – це наука “думаючого мозку» і вчити її не обов’язково, адже існує безліч схем і алгоритмів вирішувати швидко, не заучуючи що-небудь.

Зараз розглянемо як в прямому сенсі відбувається множення на пальцях.

Множення на 9:

9х1 = 9 (при множенні на 1 – загинаємо перший палець, потім рахуємо кількість пальців до загнутого (їх 0) і після нього (їх 9), результат 09 або просто 9)

·         9х2 = 18 (при множенні на 2 – загинаємо другий палець, потім рахуємо кількість пальців до загнутого (їх 1) і після нього (їх 8), результат 18)

3. Множення багатозначних чисел.

Припустимо треба помножити 32 на 21.

На аркуші паперу по черзі малюємо лінії, кількість яких визначається з даного прикладу.

Спочатку 32: 3 червоні лінії і трохи нижче – 2 сині. Потім 21 перпендикулярно вже намальованим, малюємо спочатку 2 зелені, потім – 1 малинову. ВАЖЛИВО: лінії першого числа малюються в напрямку з верхнього лівого кута в нижній правий, другого числа – з нижнього лівого, у верхній правий. Потім рахуємо кількість точок перетину у кожній з трьох областей (на малюнку області позначені у вигляді кіл). Отже, в першій області (область сотень) – 6 точок, у другій (область десятків) – 7 точок, у третій (область одиниць) – 2 точки. Отже відповідь: 672.

Розберемо інший приклад: 123х412 = 50676

Спочатку 123: 1 червону лінію і трохи нижче – 2 сині, і далі – 3 зелені. Потім 412: перпендикулярно вже намальованим, малюємо спочатку 4 фіолетових, потім 1 помаранчеву і 2 блакитних. За аналогією з попереднім прикладом, обводимо області перетинів колами. Всього їх вийшло 5, значить відповідь – п’ятизначне число. Знайдемо його: у першій області 4 точки перетину, у другій – 10, у третій – 16, в четвертій – 7 і в п’ятій – 6. Ті області, де кількість точок вийшло однозначною, складності не викликають, тому почнемо розбирати третю область, де 16 точок перетину: від 16 до цієї області залишаємо тільки останню цифру, а значить 6, все інше (а значить – 1) переносимо в сусідню область справа наліво, отже в третій області залишилося число 6, а в другій тепер до наявних 9 точок треба додати перенесену одиницю. Отже, у другій області тепер 10 точок, а це знову не однозначне число, значить 0 залишимо в другій області, а одиницю перенесемо в першу – тепер у першій на одну точку більше, а значить 5. Складемо відповідь: 50676

В школі досить часто просять вирішити якусь задачу кількома способами: аналітичним, графічним …, але не множення багатозначних чисел, такий спосіб множення не має право на життя в школі, там множать зазвичай в стовпчик, але це не означає, що він не заслуговує на увагу.

Таблиця множення на пальцях.
Розглянемо приклад множення чисел 7 і 8 за цим методом.

7 на 2 більше ніж 5. Загинаємо 2 пальці на лівій руці.

8 на 3 більше ніж 5. Загинаємо 3 пальці на правій руці.

Множимо суму загнутих пальців на 10, одержуємо: 5 ∙ 10 = 50.

Множимо число не загнутих пальців однієї руки на число не загнутих пальців другої руки, одержуємо: 3 ∙ 2 = 6.

Додаємо одержані добутки: 50 + 6 = 56. 

Отже, 7 ∙ 8 = 56.

Таблиця множення числа 9 на пальцях.

Для його застосування кисті обох рук слід покласти на стіл

долонями донизу. Пальці слід пронумерувати (подумки) так, як

показано на рисунку.

Якщо ми множимо, наприклад, 3 на 9, то загинаємо третій

палець-множник, як показано на рисунку

Не загнуті пальці, що зліва від загнутого, дають десятки добутку. Не загнуті пальці, що справа від загнутого, дають одиниці добутку.

Не нехтуйте методом множення на пальцях, адже наші руки —
це природний калькулятор, який завжди з нами.

Наприклад, 7 х 9. На одній руці загинаємо стільки пальців, наскільки 7 більше 5, тобто загинаємо 2 пальці. На другій — на скільки 9 більше 5, тобто загинаємо 4 пальці. Отже, на одній руці загнуто 2, не загнуто 3 пальці; на другій руці загнуто 4 пальці, не загнутий 1    палець. Далі знаходимо число усіх загнутих пальців 2 + 4 = 6 (це будуть десятки ) і знаходимо добуток числа незагнугих пальців 3 х 1 = 3 (це будуть одиниці). У результаті одержуємо число 63. Цей спосіб описано у підручнику «Арифметика» Магницького, який вийшов у світ у 1703 р.